Estimasi Interval Selisih Mean Dua Populasi Sembarang

Jika dipunyai $X_{11}, X_{12}, \cdots , X_{1n_{1}}$ dan $X_{21}, X_{22}, \cdots , X_{1n_{2}}$ merupakan dua sampel random yang independen satu sama lain yang diambil dari populasi yang mempunyai mean $\mu _{1}$ dan $\mu _{2}$ serta variansi $\sigma _{1}^{2}$ dan $\sigma_{2}^{2}$ , maka untuk $n_{1}$ dan $n_{2}$ besar, variabel random

1. $Z=\frac{(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}$

berdistribusi Normal Standar, dengan

$\bar{X_{1}}=\sum_{i=1}^{n_{1}}{\frac{X_{1i}}{n_{1}}}, \bar{X_{2}}=\sum_{i=1}^{n_{2}}{\frac{X_{2i}}{n_{2}}}$

2. Jika $\sigma _{1}^{2}$ dan $\sigma _{2}^{2}$ tidak diketahui, dan diasumsikan $\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2}$

$Z=\frac{(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}$

berdistribusi Normal Standar, dengan $S_{1}^{2}$ dan $S_{2}^{2}$ merupakan variansi sampel.

3. Jika $\sigma _{1}^{2}$ dan $\sigma _{2}^{2}$ tidak diketahui, dan diasumsikan $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$

$Z=\frac{(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt{S_{p}^{2}(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}})}}$

berdistribusi Normal Standar, dengan

$S_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}$

yang disebut sebagai pooled variance.

Dari ketiga persamaan tersebut, diperoleh interval konfidensi (1-α)100% untuk $(\mu _{1}-\mu _{2})$ adalah $B\le \mu _{1}-\mu_{2}\le A$ dengan ketentuan :

a. Jika $\sigma _{1}^{2}$ dan $\sigma _{2}^{2}$ diketahui,
$B=(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-Z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

$A=(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})+Z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

b. Jika $\sigma _{1}^{2}$ dan $\sigma _{2}^{2}$ tidak diketahui, dan diasumsikan $\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2}$
$B=(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}$

$A=(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})+Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}$

dengan $S_{1}^{2}$ dan $S_{2}^{2}$ merupakan variansi sampel.

c. Jika $\sigma _{1}^{2}$ dan $\sigma _{2}^{2}$ tidak diketahui, dan diasumsikan $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$
$B=(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})-Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{S_{p}^{2}(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}})}$

$A=(\bar{X_{1}}-\bar{X_{2}})+Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{S_{p}^{2}(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}})}$

dengan $S_{p}^{2}$ merupakan variansi gabungan (pooled variance).

Estimasi Interval Selisih Mean Dua Populasi Sembarang

Submit a Comment Cancel reply